วิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธีจัดหมู่

วิธีเรียงสับเปลี่ยน  และวิธีจัดหมู่

(Permutation and Combination)

1.       หลักเกี่ยวกับการนับ

ทบ.เกี่ยวกับการนับ  ในการทำกิจการอย่างหนึ่งสามารถแยกออกได้ k ขั้นตอน โดยขั้นตอนที่ 1 เลือกได้ n₁ วิธี  ขั้นตอนที่ 2 เลือกได้ n₂ วิธี  ขั้นตอนที่ 3 เลือกได้ n₃ วิธี  เป็นเช่นนี้เรื่อย ๆ ไป จนถึงขั้นตอนที่ k ซึ่งทำได้ n_k วิธี 

      ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่เป็นไปได้  =  n₁.n₂.n₃…..n_k       วิธี

ตัวอย่าง   นายแดงแต่งตัวโดยมีเสื้อ  2  ตัว  กางเกง  4  ตัว  และเนคไท  3 

เส้น  นายแดงมีวิธีการแต่งกายได้กี่วิธี

      วิธีทำ   n₁. = 2,   n₂.  = 4,   n₃…= 3

                  \ จำนวนวิธีแต่งกายทั้งหมด  = n₁.n₂.n₃   =  2 x 4 x 3  = 24  วิธี

2.       แฟกทอเรียล(Factorial)

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก  สัญลักษณ์  n!  อ่านว่า แฟกทอเรียล n มีความหมายดังนี้ n!  =  n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1

            ในกรณีที่ n = 0  กำหนดให้   0!  =  1

3.       การเรียงสับเปลี่ยน(Permutation) 

     ถ้ามีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน นำของ r สิ่งจาก n สิ่งมาจัดเรียงเป็นแถวตามลำดับ  จำนวนวิธีที่จะ กระทำได้คือ                                   P_{n , r}   =      n!  

                                                                             (n-r)!    

                             

                                                r  ที่สุ่มมาได้มีลักษณะแตกต่างกัน

            ตัวอย่าง  ในการแข่งขันวิ่งระยะทาง 100  เมตร  มีผู้แข่งขัน  8  คน  จะมีกี่วิธีที่ผู้

แข่งขันได้รับเหรียญ ทอง  เหรียญเงิน  และเหรียญทองแดง  ถ้าผู้แข่งขันมี

โอกาสที่จะชนะเท่า ๆกันทุกคน

วิธีทำ   จำนวน 3 คนที่สุ่มมาได้นั้นถือว่าแตกต่างกันจะสลับการให้เหรียญกันไม่ได้

            ดังนั้น จำนวนวิธีที่เกิดขึ้นคือ 

      คือ                    P_n,r   =     n!

                                            (n-r)!

                              P_n,r   =     8!          =         8!           =  8 x 7 x 6   =  336   วิธี

                                                 (8-3)!                  5!

4.       การเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่ง ซึ่งมีบางสิ่งซ้ำกัน  มีวิธีการจัดเรียงได้ทั้งหมด

=                    n!                 วิธี

           n₁!n₂!n₃!…..n_k!

ตัวอย่าง  จะมีวิธีการเรียงตัวอักษรในคำว่า  MISSISSIPPI  มาเรียงสับเปลี่ยนกันใหม่ทั้งหมดได้ กี่วิธี

วิธีทำ               มีตัว S ซ้ำ 4 ตัว  มีตัว I ซ้ำ 4 ตัว  มีตัว P ซ้ำ 2 ตัว 

มีตัว M ซ้ำ 1 ตัว

  \ มีวิธีการเรียงสับเปลี่ยน     =          11!                                                                                                          

                                                     4! 4! 2! 1! 

                                                = 11 x 10 x 9 x7 x5

                                                =  34,650   วิธี

5.       การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม

ถ้ามีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน นำของทั้ง n สิ่งมาเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม จำนวนวิธี ที่จะจัดได้ทั้งหมด คือ (n-1)!  วิธี 

ถ้ามีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน เลือกมาเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมเพียง r สิ่ง      (r<n)  จำนวนวิธีที่จัดได้ทั้งหมดคือ                                         n!        วิธี

                                                            (n-r)!r

6.       การจัดหมู่( Combination)

ถ้ามีของ  n  สิ่งต่าง ๆ กัน เราเลือกมา r สิ่ง แบบจัดหมู่  จำนวนวิธีที่เลือกได้คือ

                         C_n,r       =            n         =       n!

                                                   r                (n-r)!r!

                               r  ที่สุ่มมาได้มีลักษณะคล้ายคลึงกัน

ตัวอย่าง  มีหนังสือที่แตกต่างกัน 5 เล่ม ถ้าอนุญาตให้เด็กยืมได้ 3 เล่ม  เด็กคนหนึ่งจะมีวิธีเลือกได้กี่วิธี

วิธีทำ               หนังสือ 3 เล่มที่ยืมมาได้ถือว่ามีลักษณะไม่แตกต่างกันสลับที่กันไม่มีผลดังนั้นใช้ C _5,2  =             5!        =    10   วิธี

                                                     3!2!